Задача о рюкзаке.

 Первым алгоритмом для обобщенного шифрования с открытым ключом стал алгоритм рюкзака, разработанный Ральфом Мерклом и Мартином Хеллманом. Он мог быть использован только для шифрования, хотя позднее Ади Шамир адаптировал систему для цифровой подписи. Безопасность алгоритмов рюкзака опирается на проблему рюкзака, NP-полную проблему. Хотя позже было обнаружено, что этот алгоритм небезопасен, его стоит изучить, так как он демонстрирует возможность применения NP-полной проблемы в криптографии с открытыми ключами.

 Проблема рюкзака несложна. Дана куча предметов различной массы, можно ли положить некоторые из этих предметов в рюкзак так, чтобы масса рюкзака стала равна определенному значению? Более формально, дан набор значений M₁, М₂,. . ., М_n и сумма S, вычислить значения b_i, такие что

S = b₁М₁ + b₂М₂ +...+ b_пМ_п

b_i может быть либо нулем, либо единицей. Единица показывает, что предмет кладут в рюкзак, а ноль - что не кладут.

 Например, массы предметов могут иметь значения 1, 5, 6, 11, 14 и 20. Вы можете упаковать рюкзак так, чтобы его масса стала равна 22, использовав массы 5, 6 и 11. Невозможно упаковать рюкзак так, чтобы его масса была равна 24. В общем случае время, необходимое для решения этой проблемы, с ростом количества предметов в куче растет экспоненциально.

 В основе алгоритма рюкзака Меркла-Хеллмана лежит идея шифровать сообщение как решение набора проблем рюкзака. Предметы из кучи выбираются с помощью блока открытого текста, по длине равного количеству предметов в куче (биты открытого текста соответствуют значениям b), а шифротекст является полученной суммой. Пример шифротекста, зашифрованного с помощью проблемы рюкзака.

Шифрование с рюкзаками

 Фокус в том, что на самом деле существуют две различные проблемы рюкзака, одна решается за линейное время, а другая, как считается, - нет. Легкую проблему можно превратить в трудную. Открытый ключ представляет собой трудную проблему, которую легко использовать для шифрования, но невозможно для дешифрирования сообщений. Закрытый ключ является легкой проблемой, давая простой способ дешифрировать сообщения. Тому, кто не знает закрытый ключ, придется попытаться решить трудную проблему рюкзака .